ChatGPT sarebbe riuscito a risolvere i quesiti della seconda prova di matematica?

Abbiamo deciso di mettere alla prova ChatGPT, chiedendogli di risolvere gli 8 quesiti finali dell'esame di maturità per la seconda prova del liceo scientifico. Una volta ottenute le risposte, le abbiamo confrontate con le soluzioni degli esperti fornite da Skuola.net per verificare la loro correttezza. Sarà riuscito a fornire risposte precise e corrette, come un esperto di matematica? Scopriamolo insieme, analizzando passo per passo il confronto tra le soluzioni proposte dall' intelligenza artificiale e quelle ufficiali.

Powered by

Cicerone, Tacito, Seneca e Sallustio: ecco perché sono i 4 autori latini più difficili da tradurre

Tradurre il latino può essere una sfida, ma questi quattro autori portano la difficoltà a un altro livello

Primo quesito

Il testo della prova
Dato un triangolo ABC, sia M Il punto medio del lato BC e siano B' e C' due punti, rispettivamente, sul lato AB e sul lato AC, in modo tale che AB' = LAB e AC' = - AC. Dimostrare che, se i segmenti MB' e MC' sono tra loro congruenti, allora lo sono anche i lati AB e AC.

La risposta di ChatGPT
- Utilizziamo il Teorema di Apollonio, che afferma che se in un triangolo il punto medio di un lato è collegato con due punti di congruenza sui lati, la congruenza di quei segmenti implica che i lati stessi siano congruenti. In particolare, considerando il triangolo ABC e i segmenti MB' e MC', i dati ci permettono di applicare il teorema, dimostrando che i lati AB e AC devono essere congruenti.
- Risultato finale: Se MB′=MC′, allora $AB=AC$.

La soluzione
ChatGPT fa riferimento al Teorema di Apollonio, ma il teorema non si applica direttamente al caso descritto. In realtà, il problema richiede un approccio analitico e non può essere risolto solo con il teorema. Pertanto, questa risposta non è corretta. Il metodo da utilizzare è basato sulle coordinate cartesiane, calcolando le lunghezze dei segmenti MB′ e MC′. L'uguaglianza tra questi segmenti porta correttamente alla conclusione che b = c, implicando che i lati AB e AC siano congruenti. Dunque, ChatGPT avrebbe sbagliato questa domanda.

Secondo quesito

Il testo della prova
Si considerino la superficie sferica di equazione (x - 1)2 + (y - 2)2 + z2 = 1 e il piano pgreco di equazione x - 2y - 2z + d = 0. Discutere, al variare del parametro reale d, se il piano a è secante, tangente o esterno alla superficie sferica. Determinare il valore del parametro d in modo che it divida la sfera in due parti uguali.

La risposta di ChatGPT
La sfera ha il centro $(1, 2, 0)$ e raggio $1$. Il piano ha equazione generica $x - 2y - 2z + d = 0$.
- Il piano è secante se la distanza dal centro della sfera al piano è minore del raggio, ossia $d \neq \pm 1$.
- Il piano è tangente se la distanza dal centro della sfera al piano è uguale al raggio, ossia $d = \pm 1$.
- Il piano è esterno se la distanza dal centro della sfera al piano è maggiore del raggio, ossia $d > 1$.
- Per determinare il valore di $d$ che divide la sfera in due parti uguali, calcoliamo la distanza del piano dal centro della sfera, $D = \frac{|d - 2|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2}} = \frac{|d - 2|}{3}$
- Per dividere la sfera in due parti uguali, $D = 1$, quindi $\frac{|d - 2|}{3} = 1$, da cui $|d - 2| = 3$, quindi $d = 5$ o $d = -1$.
- Risultato finale:
   - Il piano è secante per $d \neq \pm 1$.
   - Il piano è tangente per $d = 1$ o $d = -1$.
   - Il piano è esterno per $|d| > 1$.
   - Il valore di $d$ che divide la sfera in due parti uguali è $d = 5$ o $d = -1$.

La soluzione
Nella risposta di ChatGPT, si calcola la distanza del piano dal centro della sfera usando la formula della distanza punto-piano. Viene poi confrontata con il raggio della sfera per determinare se il piano è secante, tangente o esterno. Tuttavia, il calcolo del valore di d che divide la sfera in due parti uguali risulta errato, poiché si utilizza un approccio errato nella determinazione della distanza e nel confronto con il raggio. Il valore corretto che divide la sfera in due parti uguali dovrebbe essere d = 3, non d = 5 o -1. Bisognava invece calcolare la distanza tra il centro della sfera e il piano usando le coordinate del centro. La distanza va poi confrontata con il raggio per determinare le condizioni di secante, tangente o esterno. Si determina così che il piano divide la sfera in due parti uguali quando d = 3, che è il valore corretto.

Terzo quesito

Il testo della prova
L'opera futurista di Boccioni "Forme uniche della continuità nello spazio" del 1913, riportata sulla moneta da 20 centesimi, descrive un uomo che avanza velocemente nello spazio. Una parte del profilo evidenziato in figura, in un opportuno sistema di riferimento, può essere approssimato dalla funzione 4x7 - 8x, -1 ≤x≤0 /(x) - [1 + tan (x +₴). ₴n). 0 Tracciare il grafico di f, dopo averne analizzato la continuità e la derivabilità nell'intervallo -1; 2].

La risposta di ChatGPT
La funzione è un polinomio e i polinomi sono continui e derivabili in tutto $\mathbb{R}$. La continuità e derivabilità sono garantite senza ulteriori calcoli per polinomi.
Derivata prima di $f(x)$: $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=28x^6-8$$La derivata è continua in $-1 \le x \le 0$, quindi la funzione è derivabile su questo intervallo.
Grafico: Il grafico della funzione mostra il comportamento di $f(x)$ nel dato intervallo. La funzione avrà un comportamento crescente o decrescente a seconda dei valori di $x$.
Risultato finale:
La funzione è continua e derivabile nell'intervallo $-1 \le x \le 0$, e il grafico mostra un comportamento caratteristico di un polinomio.

La soluzione
La risposta di ChatGPT è scorretta perché tratta la funzione come un polinomio, ignorando che sia a tratti. Non verifica la continuità e la derivabilità in $x = 0$, dove la funzione cambia definizione. Sebbene la funzione sia continua in $x = 0$, le derivate laterali in quel punto non coincidono (la derivata della parabola è -8 e quella della tangente è 2), il che indica che la funzione non è derivabile in $x = 0$. La risposta corretta individua la funzione a tratti, considerando separatamente le due espressioni per $f(x)$. Si verifica che la funzione è continua, ma non derivabile in $x = 0$, poiché i limiti delle derivate destra e sinistra in $x = 0$ non coincidono. 

Quarto quesito

Il testo della prova
Assegnata una funzione g, derivabile in R e tale che g (*) = g' (€) = 2, determinarel'equazione della retta normale alla curva y = g(x) sen'x nel suo punto di ascissa".

La risposta di ChatGPT
La retta normale ha la stessa ascissa del punto di contatto, ma la sua pendenza è l'inverso negativo della derivata della funzione in quel punto.

Per la curva $y = g(x) \sin(x)$, la derivata prima è:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=g^{\mathrm{\prime }}(x)\sin (x)+g(x)\cos (x)$$

Valutando in $x = a$, otteniamo:

$$y^{\mathrm{\prime }}(a)=g^{\mathrm{\prime }}(a)\sin (a)+g(a)\cos (a)$$

La pendenza della retta normale è quindi:

$$m_{\text{normale}}=-\frac{1}{y^{\mathrm{\prime }}(a)}$$

L'equazione della retta normale sarà:

$$y-y(a)=m_{\text{normale}}(x-a)$$

dove $y(a) = g(a) \sin(a)$.
- Risultato finale: L'equazione della retta normale alla curva è determinata utilizzando la derivata prima e la pendenza normale.

La soluzione
Anche qui, la risposta di ChatGPT contiene un errore. Infatti, afferma che la pendenza della retta normale sia l'inverso negativo della derivata prima della funzione nel punto di contatto, ma non tiene conto che il termine $g(x) \sin(x)$ deve essere trattato correttamente. Il calcolo della derivata della funzione $y = g(x) \sin(x)$ dovrebbe seguire la regola del prodotto, e quindi la derivata prima di $y$ in $x = a$ sarebbe: $$y^{\mathrm{\prime }}(x)=g^{\mathrm{\prime }}(x)\sin (x)+g(x)\cos (x)$$

$$y'(x) = g'(x) \sin(x) + g(x) \cos(x)$$La pendenza della retta normale sarebbe quindi l'inverso negativo di questa espressione, e non l'inverso negativo di $y'(x)$ come scritto nella sua risposta. Invece, bisognava applicare correttamente il metodo a un caso specifico con $x = \frac{\pi}{4}$ e trovare l'equazione della retta normale.

Quinto quesito

Il testo della prova
Determinare il valore del parametro $k$ in modo che le curve $y = e^x$ e $y = 6 - ke^x$ si intersechino.

La risposta di ChatGPT
Per determinare l’intersezione delle curve, uguagliamo le due espressioni per $y$:

$$e^x=6-k{e}^x$$

Risolvendo per $e^x$, otteniamo:

$$e^x(1+k)=6$$

Da cui:

$$e^x=\frac{6}{1+\mathrm{k\; <span\; style="font-family:\; Verdana,\; Arial,\; Helvetica,\; sans-serif;"><br></span>}}$$Affinché l'equazione abbia soluzioni reali, $k \neq -1$.
- Risultato finale: L'intersezione esiste per $k \neq -1$, e per ogni valore di $k$, ci sarà un punto di intersezione.

La soluzione
ChatGPT risolve correttamente l'intersezione delle curve, uguagliando le due espressioni per $y$ e risolvendo per $e^x$. Ottiene la condizione $e^x = \frac{6}{1+k}$, e conclude che l'intersezione esiste per ogni valore di $k$ tranne $k = -1$, in quanto per $k = -1$ l'equazione non ha soluzioni reali. Questo approccio è valido per determinare i valori di $k$ che permettono l'intersezione, ma non include la condizione di tangenza. La risposta corretta doveva fare un passo in più, risolvendo il sistema di equazioni per trovare il valore di $k$ che rende le curve tangenti, utilizzando il discriminante per determinare il valore di $k$ che permette una soluzione unica (tangenza). Poi, avrebbe dovuto calcolare la derivata delle due funzioni e uguagliare le derivate per verificare che le curve siano tangenti nel punto di intersezione. Si ottiene così che $k = 9$ e il punto di tangenza è $P(\ln 3, 3)$.

Sesto quesito

Il testo della prova
Scrivere una funzione polinomiale $f(x)$ tale che la retta $y = 2x + 3$ sia tangente al grafico di $f(x)$ nel punto di ascissa 0, e che si abbia $\int_0^1 f(x) \, dx = 9$.

La risposta di ChatGPT
Per la tangenzialità, la derivata di $f(x)$ in $x = 0$ deve essere 2 (la pendenza della retta), e $f(0) = 3$ (il punto di intersezione con la retta). Una possibile forma di $f(x)$ è $f(x) = x^2 + 2x + 3$.
Verificando l'integrale: $${\int }_0^1(x^2+2x+3)dx={[\frac{x^3}{3}+x^2+3x]}_0^1=\frac{1}{3}+1+3=9$$

Risultato finale: La funzione $f(x) = x^2 + 2x + 3$ soddisfa le condizioni.

La soluzione
La risposta è errata, in quanto la funzione proposta $f(x) = x^2 + 2x + 3$ non soddisfa la condizione dell'integrale $\int_0^1 f(x) \, dx = 9$. Bisognava utilizzare un polinomio di secondo grado e applicare le condizioni di tangenzialità e l'integrale, per trovare la funzione corretta $f(x) = -x^2 + 2x + 3$.

Settimo quesito

Il testo della prova
Determinare la probabilità di ottenere il "colpo di Venere" (4 dadi con risultati diversi) e la probabilità di ottenere 4 numeri uguali.

La risposta di ChatGPT
- Il "colpo di Venere" è ottenere 4 risultati diversi. Il numero di modi per lanciare 4 dadi con risultati diversi è $4!$, e il numero totale di possibili esiti dei lanci è $4^4$. La probabilità è quindi:

$$P(\text{colpo di Venere}) = \frac{4!}{4^4}$$- La probabilità di 4 numeri uguali è $\frac{4}{4^4}$, poiché ci sono 4 possibili numeri uguali.
- Risultato finale:
$P(\text{colpo di Venere}) = \frac{24}{256} = \frac{3}{32}$ $P(\text{4 numeri uguali}) = \frac{4}{256} = \frac{1}{64}$

La soluzione
La risposta di ChatGPT è finalmente corretta nei calcoli delle probabilità, ma la spiegazione risulta parzialmente confusa, in particolare riguardo al numero totale di possibili esiti dei lanci, che dovrebbe essere $4^4 = 256$ e non $4 \times 4$. La probabilità del "colpo di Venere" è calcolata correttamente, ma la formulazione della probabilità potrebbe essere più chiara. Bisognava calcolare correttamente entrambe le probabilità, spiegando con chiarezza i passaggi. Per il "colpo di Venere", si doveva utilizzare correttamente la permutazione senza ripetizione per determinare il numero di eventi favorevoli. Per i 4 numeri uguali, invece, identificare correttamente i 4 possibili esiti favorevoli e calcolarne la probabilità, cosa che ChatGPT non fa.

Ottavo quesito

Il testo della prova
Quanti sono gli anagrammi, anche senza significato, della parola "STUDIARE"? In quanti di tali anagrammi si può leggere consecutivamente la parola "ARTE", come ad esempio in "SUARTEDI"? Quanti sono gli-anagrammi, anche senza significato, della parola "VACANZA"?

La risposta di ChatGPT
- Gli anagrammi di "STUDIARE" sono i modi in cui possiamo riorganizzare le lettere di "STUDIARE", che ha 8 lettere. Il numero di anagrammi distinti è $8! = 40320$.
- Gli anagrammi con "ARTE" consecutivi sono quelli che trattano "ARTE" come un blocco. Ci sono 5 lettere rimanenti, quindi il numero di anagrammi è $5! = 120$.
- Risultato finale:
Numero di anagrammi di "STUDIARE": $8! = 40320$Numero di anagrammi con "ARTE": $5! = 120$

La soluzione
Qui l'intelligenza artificiale poteva conquistare la sua prima vittoria, siccome gli anagrammi di "STUDIARE" e "ARTE" sono calcolati correttamente. Tuttavia, si è dimenticata di inserire il calcolo degli anagrammi di "VACANZA", sbagliando così anche questa risposta.

Maturità 2025, il ritorno di Cicerone: al via la seconda prova per oltre 524mila studenti

Al Classico una versione dal "De amicitia", allo Scientifico matematica tra Cartesio e Platone. Prove diverse per ogni indirizzo e fino a otto ore per completarle

In conclusione, degli 8 quesiti presenti nella prova di matematica del liceo scientifico, ChatGpt non è riuscito a risolverne neanche uno senza commettere errori. Tra dimenticanze, formule inventate e tentativi di giustificare le sue risposte sbagliate, il modello di intelligenza artificiale sarebbe molto probabilmente stato bocciato in sede d'esame. Dunque, un monito: se dovete risolvere problemi di matematica, affidatevi agli esperti.